Lektion 19

Extremwertaufgaben

Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion optimieren

MathePrüfungsrelevantca. 50 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Jede Extremwertaufgabe beginnt mit der Hauptbedingung.

Nach dieser Lektion

Du übersetzt eine Textaufgabe in eine Zielfunktion mit einer Variablen.
Du findest das Optimum mit der Ableitung und prüfst Randwerte.
Du beantwortest die Frage im Sachzusammenhang.

An der Prüfung: Extremwertaufgaben verbinden Modellieren und Ableiten: grösste Fläche, kleinstes Volumen, kürzester Weg.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Die Kurve steigt noch: Ein grösseres $x$ lohnt sich.

Eckquadrat

x

(cm)

$x$

2cm

$Boden$

26cm

$V$

1352cm³

Die Kurve steigt noch: Ein grösseres $x$ lohnt sich.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde das grösste Volumen.
(offen)
Finde ein $x$ rechts vom Maximum mit $V = 1000 cm^{3}$ .
(offen)
Wähle $x$ so gross, dass kein Boden mehr bleibt.
(offen)

Entdecke:

Das Maximum liegt dort, wo die Kurve waagrecht ist: $V^{'} (x) = 0$ . Genau das rechnest du im Musterbeispiel.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

11. Hauptbedingung

A = x \cdot y

Was soll maximal oder minimal werden?
Als Formel mit allen Variablen aufschreiben.

Gehege an einer Wand: Zaun für drei Seiten.

MerkeEine Formel mit zwei Variablen ist normal.

A = 10 m \cdot 40 m = 400 m^{2}

Gesucht: die grösste Fläche bei $60 m$ Zaun für drei Seiten.
$x$ und $y$ in m, die Fläche $A$ in $m^{2}$ .

$x = 10$ , $y = 40$ : $A = 10 \cdot 40 = 400 m^{2}$ .

MerkeEine Formel mit zwei Variablen ist normal.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «1. Hauptbedingung», Schritt 4

22. Nebenbedingung

2 x + y = L \Rightarrow y = L - 2 x

Die Einschränkung (hier die Zaunlänge $L$ ) nach einer Variablen auflösen.
Einsetzen: $A (x) = x (L - 2 x)$ .

MerkeAm Ende bleibt nur eine Variable übrig.

2 x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2 x

$60 m$ Zaun für drei Seiten, nach $y$ aufgelöst.
Einsetzen: $A (x) = x (60 - 2 x)$ .

MerkeAm Ende bleibt nur eine Variable übrig.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «2. Nebenbedingung», Schritt 4

33. Ableiten

A^{'} (x) = L - 4 x = 0 \Rightarrow x = \frac{L}{4}

Zweite Ableitung $A^{''} (x) = - 4 < 0$ : Das ist ein Hochpunkt.

$A (x) = Lx - 2 x^{2}$

MerkeAbleitung null setzen heisst: waagrechte Tangente.

A^{'} (x) = 60 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 15

Zweite Ableitung $A^{''} (x) = - 4 < 0$ : Das ist ein Hochpunkt.

Waagrechte Tangente bei $x = 15$ : $A = 450$ .

MerkeAbleitung null setzen heisst: waagrechte Tangente.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «1. Hauptbedingung», Schritt 4

44. Rand und Antwort

Definitionsbereich: $0 < x < \frac{L}{2}$ . Die Ränder prüfen.
Dort ist $A = 0$ , also kleiner als der Hochpunkt.
Antwort mit Einheit: $x$ , $y$ und die gefragte Grösse $A$ .

Ränder: Dort ist $A = 0$ .

MerkeNicht nur

x

angeben, sondern die gefragte Grösse.

Definitionsbereich: $0 < x < 30$ . Die Ränder prüfen.
Dort ist $A = 0$ , also kleiner als $450$ .
Antwort mit Einheit: $A = 450 m^{2}$ bei $x = 15 m$ und $y = 30 m$ .

Maximum: $x = 15 m$ , $A = 450 m^{2}$ .

MerkeNicht nur

x

angeben, sondern die gefragte Grösse.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «1. Hauptbedingung», Schritt 4

5Weg über den Scheitel

x_{S} = - \frac{b}{2 a}, A_{m a x} = A (x_{S})

Zielfunktion		Scheitel ist
	→	$Maximum$
	→	$Minimum$

Die Funktion, die optimiert wird (Zielfunktion), ist oft quadratisch: $A (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Dann liegt das Optimum im Scheitel der Parabel. Eine Ableitung braucht es nicht.
Mit Nullstellen: $x_{S}$ liegt genau in ihrer Mitte.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$A (x) = x (L - 2 x) = - 2 x^{2} + Lx$ : $a = - 2 < 0$ , die Parabel ist nach unten offen.

Scheitel $(6 ∣ 36)$ : der höchste Punkt, ein Maximum.

Scheitel $(6 ∣ 4)$ : der tiefste Punkt, ein Minimum.

MerkeQuadratische Zielfunktion: Das Optimum liegt im Scheitel.

x_{S} = - \frac{18}{2 \cdot ( - 1 )} = 9, A (9) = 81

Zielfunktion		Scheitel ist
	→	$Maximum$
	→	$Minimum$

Rechteck mit Umfang $36$ m: $A (x) = x (18 - x) = - x^{2} + 18 x$ .
$a = - 1 < 0$ : Der Scheitel ist ein Maximum, ohne Ableitung.
Nullstellen $0$ und $18$ : $x_{S} = 9$ liegt genau in ihrer Mitte.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$A (9) = 9 \cdot 9 = 81$ : ein Quadrat mit $81 m^{2}$ .

Scheitel $(6 ∣ 36)$ : der höchste Punkt, ein Maximum.

Scheitel $(6 ∣ 4)$ : der tiefste Punkt, ein Minimum.

MerkeBei

x = 9

m wird das Rechteck ein Quadrat mit

81 m^{2}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Weg über den Scheitel», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Konservendose

Hoch und schmal ( $r = 4 cm$ ): etwa $601 cm^{2}$ Blech.

Eine Dose für 1 Liter soll wenig Blech brauchen: $O (r) = 2 π r^{2} + \frac{2000}{r}$ . Aus $O^{'} (r) = 0$ folgt $r \approx 5, 4 cm$ , die Höhe ist dann gleich dem Durchmesser.

Regenrinne

Flache Rinne, $x = 3$ : $3 \cdot 24 = 72 cm^{2}$ .

Ein $30 cm$ breites Blech wird zur Rinne gebogen, beide Ränder $x$ hoch. Der Querschnitt $A (x) = x (30 - 2 x)$ ist bei $x = 7, 5 cm$ am grössten: $112, 5 cm^{2}$ .

Gehege

Drei Zäune der Länge $x$ , zwei der Länge $y$ .

Mit $24 m$ Zaun entsteht ein Gehege mit Trennzaun: $3 x + 2 y = 24$ . Die Fläche $A (x) = x (12 - 1, 5 x)$ ist bei $x = 4 m$ am grössten, $24 m^{2}$ .

Konzertticket

Umsatz: Preis mal Anzahl Leute, $E (p) = p (400 - 5 p)$ .

Bei CHF 20 kommen 300 Leute, pro Franken mehr 5 weniger. Der Umsatz $E (p) = p (400 - 5 p)$ ist bei $E^{'} (p) = 400 - 10 p = 0$ am grössten: CHF 40, Umsatz CHF 8000.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Aus einem quadratischen Karton ( $30 cm$ Seitenlänge) wird durch Ausschneiden gleich grosser Eckquadrate eine offene Schachtel gefaltet. Für welche Seitenlänge $x$ der Eckquadrate ist das Volumen maximal?

Aus den Ecken werden Quadrate der Seite $x$ ausgeschnitten.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Hauptbedingung
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Definitionsbereich
…
3
Ableiten
…
4
Prüfen
…

Typische Fehler

✗
Die Nebenbedingung nicht einsetzen und mit zwei Variablen ableiten wollen.
✗
Randwerte nicht prüfen.
✗
Nur $x$ angeben, obwohl nach der maximalen Fläche oder den Massen gefragt ist.

Prüfungstipp

Schreib die vier Schritte als Überschriften hin (Hauptbedingung, Nebenbedingung, Ableitung, Antwort). Bei der Korrektur gibt es dafür Teilpunkte, auch wenn du dich am Schluss verrechnest.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Extremwertaufgabe: grösstes Dreieck
Weide mit günstigstem Zaun

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du übersetzt eine Textaufgabe in eine Zielfunktion mit einer Variablen.
Du findest das Optimum mit der Ableitung und prüfst Randwerte.
Du beantwortest die Frage im Sachzusammenhang.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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