Lektion 12

Arbeit, Leistung und Energie

Hubarbeit, Leistung beim Treppensteigen, Beschleunigungsarbeit, Arbeit und Energie, Energieformen und Energieerhaltung, Wirkungsgrad

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In 30 Sekunden

Eine Person mit $60 kg$ steht unten an der Treppe.

Nach dieser Lektion

Du berechnest Arbeit als Kraft mal Weg, Hubarbeit mit $W = m \cdot g \cdot h$ und Beschleunigungsarbeit mit $W = m \cdot a \cdot s$ .
Du berechnest die Leistung $P = W : t$ , zum Beispiel beim Treppensteigen, in Watt und Kilowatt.
Du erklärst Energieformen und ihre Umwandlungen und zeigst, dass Energie erhalten bleibt.
Du berechnest den Wirkungsgrad einer Maschine und erklärst, wo der Rest bleibt.

An der Prüfung: Hubarbeit, Leistung und Wirkungsgrad sind typische Rechenaufgaben, Energieformen und Erhaltung typische Erklärfragen. Physik ist an der FMS kein Fach der Abschlussprüfung: Die Note kommt aus den Prüfungen in der Klasse.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Zeitraffer: sechsfaches Tempo. Jedes Stockwerk ist 3 m hoch.

Gleiche Treppe, halbe Zeit: gleiche Arbeit, doppelte Leistung.

Masse

m

Stockwerke (je 3 m)

Zeit für die Treppe

$Hubarbeit W$

5,30kJ

$Leistung P$

353W

Gleiche Treppe, halbe Zeit: gleiche Arbeit, doppelte Leistung.

Zeitraffer: sechsfaches Tempo. Jedes Stockwerk ist 3 m hoch.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Steig mit $60 kg$ so hoch, dass die Hubarbeit mehr als $8 kJ$ beträgt.
(offen)
Erreiche eine Leistung von mindestens $1 kW$ .
(offen)
$70 kg$ , $5$ Stockwerke: Wie lange darfst du brauchen, damit du etwa $400 W$ leistest (auf $5 W$ genau)?
(offen)

Entdecke:

Die Arbeit hängt nur von Masse und Höhe ab, nicht von der Zeit. Die Leistung schon: Wer schneller steigt, leistet mehr. Ein Sportler schafft kurz etwa $1 kW$ , über eine längere Zeit viel weniger.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Hubarbeit

W = F \cdot s, W_{Hub} = m \cdot g \cdot h

Kraft und Weg		Arbeit
	→	$W = F \cdot s$
	→	$W = 0$

Arbeit $W$ ist Kraft mal Weg in Richtung der Kraft. Einheit Joule: $1 J = 1 N \cdot m$ , $1 kJ = 1000 J$ .
Hubarbeit: Wer eine Last um die Höhe $h$ hebt, braucht die Kraft $F_{G} = m \cdot g$ : $W = m \cdot g \cdot h$ .
Flaschenzug und Hebel sparen Kraft, aber nicht Arbeit: Der längere Weg gleicht es genau aus.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Ein Koffer steht am Boden.

$W = 196 N \cdot 1, 5 m \approx 294 J$ .

Der Weg geht waagrecht, quer zur Kraft: keine Arbeit am Koffer.

MerkeArbeit nur, wenn sich der Körper in Richtung der Kraft bewegt.

W = 20 kg \cdot 9, 81 \frac{N}{kg} \cdot 1, 5 m \approx 294 J

Kraft und Weg		Koffer mit 20 kg
$in Wegrichtung$	→	$196 N \cdot 1, 5 m \approx 294 J$
$quer zum Weg$	→	$waagrecht tragen: W = 0$

Den Koffer auf die Gepäckablage heben: Arbeit $294 J$ (Joule), rund $0, 3 kJ$ .
Hubarbeit $m \cdot g \cdot h = 20 \cdot 9, 81 \cdot 1, 5 J$ .
Mit einem Flaschenzug ( $4$ Seilstücke): $49 N$ über $6 m$ , wieder $294 J$ .

$W = 196 N \cdot 1, 5 m \approx 294 J$ .

MerkeArbeit nur, wenn sich der Körper in Richtung der Kraft bewegt.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Leistung beim Treppensteigen», Schritt 4

2Leistung beim Treppensteigen

P = \frac{W}{t} = \frac{m \cdot g \cdot h}{t}

Treppe, 9 m hoch		Leistung
	→	$wenig: lange Zeit$
	→	$viel: kurze Zeit$

Leistung $P$ ist Arbeit pro Zeit. Einheit Watt: $1 W = 1 J/s$ , $1 kW = 1000 W$ .
Gleiche Treppe heisst gleiche Arbeit. Wer schneller ist, leistet mehr.
Achtung: $W$ (schräg) ist die Arbeit, W (gerade) die Einheit Watt.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Unten an der Treppe.

$P = 5297 J : 30 s \approx 177 W$ .

$P = 5297 J : 10 s \approx 530 W$ : dreimal so viel.

MerkeLeistung ist Arbeit pro Zeit: gleiche Arbeit, halbe Zeit, doppelte Leistung.

P = \frac{60 \cdot 9 , 81 \cdot 9 J}{15 s} \approx 353 W

Treppe, 9 m hoch		60 kg
$gehen, 30 s$	→	$5297 J : 30 s \approx 177 W$
$rennen, 10 s$	→	$5297 J : 10 s \approx 530 W$

Die Leistung beim Treppensteigen in $15 s$ : $353 W$ (Watt), etwa $0, 35 kW$ .
In allen drei Fällen ist die Arbeit gleich: $5297 J$ .
$W = 5297 J$ ist die Arbeit; das Ergebnis $353 W$ hat die Einheit Watt.

$P = 5297 J : 15 s \approx 353 W$ .

MerkeLeistung ist Arbeit pro Zeit: gleiche Arbeit, halbe Zeit, doppelte Leistung.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Leistung beim Treppensteigen», Schritt 4

3Beschleunigungsarbeit bei Fahrzeugen

W = F \cdot s = m \cdot a \cdot s

Damit ein Fahrzeug schneller wird, braucht es die Kraft $F = m \cdot a$ , und zwar über den ganzen Weg $s$ .
Die Beschleunigungsarbeit ist darum $W = m \cdot a \cdot s$ .
Doppelte Masse, doppelte Arbeit: Ein schwerer Lastwagen braucht beim Anfahren viel mehr als ein Auto.

Ein Auto steht.

MerkeBeschleunigungsarbeit: Kraft

m \cdot a

mal Weg.

W = 1200 kg \cdot 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 100 m = 240000 J

Ein Auto mit $1200 kg$ beschleunigt mit $2 m/s^{2}$ : $F = 2400 N$ .
Über $100 m$ : Beschleunigungsarbeit $240000 J = 240 kJ$ .
Ein Lastwagen mit $12000 kg$ bräuchte für dasselbe zehnmal so viel: $2400 kJ$ .

$W = 2400 N \cdot 100 m = 240 kJ$ .

MerkeBeschleunigungsarbeit: Kraft

m \cdot a

mal Weg.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Beschleunigungsarbeit bei Fahrzeugen», Schritt 4

4Arbeit und Energie

Arbeit am Körper		steckt dann als
	→	$Lageenergie m \cdot g \cdot h$
	→	$Bewegungsenergie$

Energie ist gespeicherte Arbeit: Was man an einem Körper arbeitet, steckt danach in ihm. Einheit: Joule.
Ein gehobener Körper hat Lageenergie $E = m \cdot g \cdot h$ , ein fahrender Bewegungsenergie.
Die Energie kann wieder Arbeit verrichten: Ein fallender Hammer schlägt den Nagel ein.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Ein Koffer steht am Boden.

Oben hat er $294 J$ Lageenergie mehr als unten.

Die $240 kJ$ stecken jetzt als Bewegungsenergie im Auto.

MerkeArbeit hinein, Energie drin: Was man arbeitet, wird gespeichert.

Arbeit		Koffer und Auto
$Koffer heben$	→	$294 J Lageenergie$
$Auto anfahren$	→	$240 kJ Bewegungsenergie$

Den Koffer $1, 5 m$ heben kostet $294 J$ ; die Energie steckt dann oben im Koffer.
Lageenergie des Koffers: $20 \cdot 9, 81 \cdot 1, 5 J \approx 294 J$ . Das Auto hat danach $240 kJ$ Bewegungsenergie.
Ein Hammer ( $0, 5 kg$ ), $0, 4 m$ gehoben, bringt etwa $2 J$ auf den Nagel.

Oben steckt sie als Lageenergie im Koffer: $294 J$ .

MerkeArbeit hinein, Energie drin: Was man arbeitet, wird gespeichert.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Beschleunigungsarbeit bei Fahrzeugen», Schritt 4

5Energieformen und Erhaltung

Energieform		Beispiel
$Lageenergie$	→	$Velo oben am H u ¨ gel$
$Bewegungsenergie$	→	$fahrendes Velo$
$W a ¨ rme$	→	$heisse Bremsen$
$chemische Energie$	→	$Essen, Benzin, Akku$

Energie hat viele Formen: Lage, Bewegung, Wärme, Licht, elektrische und chemische Energie (in Nahrung, Benzin, Akkus).
Energie wird umgewandelt, sie geht aber nie verloren und entsteht nie aus nichts: Energieerhaltung.
Was «verloren» scheint, ist meist Wärme, zum Beispiel in den Bremsen oder in der Luft.

Oben am Hügel steht ein Velo: Es hat Lageenergie.

MerkeEnergie wechselt die Form, die Summe bleibt gleich.

E = 80 kg \cdot 9, 81 \frac{N}{kg} \cdot 50 m \approx 39 kJ

Energieform		Beispiel
$Lageenergie$	→	$Velo oben am H u ¨ gel$
$Bewegungsenergie$	→	$fahrendes Velo$
$W a ¨ rme$	→	$heisse Bremsen$
$chemische Energie$	→	$Essen, Benzin, Akku$

Velo mit Fahrerin, $80 kg$ , oben auf einem $50 m$ hohen Hügel: $39 kJ$ Lageenergie.
Unten (ohne Luft und Bremsen): dieselben $39 kJ$ als Bewegungsenergie, wegen der Energieerhaltung.
Bremst sie bis zum Stillstand, werden die $39 kJ$ zu Wärme in den Bremsen. Aufs Velo kam die Energie als chemische Energie aus dem Essen.

Nach dem Bremsen: $39 kJ$ Wärme.

MerkeEnergie wechselt die Form, die Summe bleibt gleich.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wirkungsgrad», Schritt 4

6Wirkungsgrad

η = \frac{E _{nutz}}{E _{zu}} = \frac{P _{nutz}}{P _{zu}}

Keine Maschine nutzt alles: Ein Teil der zugeführten Energie $E_{zu}$ wird zu Wärme. Der Wirkungsgrad $η$ (eta) ist der genutzte Anteil.
$η$ ist immer kleiner als $1$ , also unter $100 %$ . Mit Leistungen rechnet man gleich.
Ein guter Elektromotor nutzt rund $90 %$ , ein Benzinmotor nur etwa einen Viertel.

zugeführt

Eine Maschine bekommt Energie zugeführt, zum Beispiel elektrische.

MerkeWirkungsgrad: Nutzen durch Aufwand, immer unter

100 %

η = \frac{400 J}{500 J} = 0, 8 = 80 %

Ein Elektromotor bekommt $500 J$ und hebt damit eine Last: $400 J$ Lageenergie. Wirkungsgrad $80 %$ .
Die übrigen $100 J$ werden Wärme im Motor.
Gleich mit Leistungen: $500 W$ zugeführt, $400 W$ genutzt, wieder $80 %$ .

zugeführt500 J

genutzt400 J

Wärme100 J

Wärme: $100 J$ . $η = 400 : 500 = 80 %$ .

MerkeWirkungsgrad: Nutzen durch Aufwand, immer unter

100 %

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wirkungsgrad», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Skilift

Eine Skifahrerin mit $70 kg$ unten am Skilift.

Ein Skilift zieht eine Skifahrerin mit $70 kg$ um $300 m$ hinauf. Das ist eine Hubarbeit von $70 \cdot 9, 81 \cdot 300 J \approx 206 kJ$ .

Elektrovelo

Der Akku speichert $500 Wh$ (Wattstunden), das sind $1800000 J$ .

Ein Elektrovelo hat einen Akku mit $500 Wh$ (angenommen). Hilft der Motor mit $250 W$ , reicht der Akku für $2 h$ .

Bremsen bergab

Oben hat das Velo samt Fahrer viel Lageenergie.

Fährst du mit gleichem Tempo $100 m$ bergab, wird die Lageenergie in den Bremsen zu Wärme. Bei $80 kg$ sind das etwa $78 kJ$ .

Kühlung im Rechenzentrum

Ein Rechenzentrum mit Kühlturm bezieht $1250 kW$ (angenommen).

Ein Rechenzentrum ist ein Gebäude voller Computer, die Dienste wie Chat, Suche und Videos betreiben. Von $1250 kW$ (angenommen) braucht die Kühlung $250$ , die Computer $1000 kW$ : $η = 80 %$ .

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Mia ( $55 kg$ ) steigt in den 4. Stock, $12 m$ hoch, und braucht dafür $20 s$ . a) Welche Hubarbeit verrichtet sie? b) Welche Leistung bringt sie? c) Am nächsten Tag rennt sie in $8 s$ hinauf. Was ändert sich?

F_{G}

=

55 \cdot 9, 81 N \approx 539, 6 N

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
a) Hubarbeit
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
b) Leistung
…
3
c) Rennen
…

Typische Fehler

✗
Joule und Kilojoule mischen: $1 kJ = 1000 J$ ; vor dem Teilen alles in derselben Einheit.
✗
Watt und Kilowatt mischen: $809 W = 0, 809 kW$ , nicht $809 kW$ .
✗
Masse statt Gewichtskraft einsetzen: Hubarbeit ist $m \cdot g \cdot h$ , nicht $m \cdot h$ .

Prüfungstipp

Wir rechnen mit Taschenrechner und Formelsammlung. Schreib zuerst auf, welche Arbeit gemeint ist (Heben oder Beschleunigen), dann rechne in J und s, erst am Schluss in kJ oder kW.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie eine Klassenprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Auf den Aussichtsturm
Kran und Auto
Rechenzentrum kühlen

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Arbeit als Kraft mal Weg, Hubarbeit mit $W = m \cdot g \cdot h$ und Beschleunigungsarbeit mit $W = m \cdot a \cdot s$ .
Du berechnest die Leistung $P = W : t$ , zum Beispiel beim Treppensteigen, in Watt und Kilowatt.
Du erklärst Energieformen und ihre Umwandlungen und zeigst, dass Energie erhalten bleibt.
Du berechnest den Wirkungsgrad einer Maschine und erklärst, wo der Rest bleibt.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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